【波の可視化】pythonでの定在波の記述

必要なライブラリ

matplotlib
numpy

以上の二つが今回必要となるライブラリになります。この二つがまだインストールされていない方は、windowsの場合はコマンドプロンプトから下記のように入力してパッケージをインストールしてください。

$ pip install matplotlib
$ pip install numpy

この二つのライブラリは今後も頻繁に使用するライブラリなので、早いうちから慣れていきましょう。

pythonでアニメーションを表現するには

pythonでアニメーションをプログラムするには、matplotlib.animationを使用します。下のmatplotlibの公式リンクから使い方を確認することができます。

https://matplotlib.org/api/animation_api.html?highlight=animation#module-matplotlib.animation

今回は時間変化する位置xにおける電圧、電流値を2次元で表現したいので、事前にｘ、ｙ座標の時間変化のグラフを作成して、アニメーションにする方法で表現していきたいと思います。

そこで、matplotlib.animation.ArtistAnimationというメソッドを使います。

定在波の導出

今回は、伝送線路における定在波を表現していきたいと思います。下の図のような一般的な伝送線路を想定します。線路の特性インピーダンスは(損失なしの場合)、変数がｘだけのとき、

$$V(x)=Ae^{-jβx}+Be^{jβx}$$

$$I(x)=(Ae^{-jβx}-Be^{jβx})/Z_0$$

$$Z_0:線路の特性インピーダンス$$

と表すことができ、時間領域に拡張すると、

$$V(x,t)=V(x)e^{jωt}, I(x,t)=I(x)e^{jωt}$$

と波動方程式より求めることができる。ここから、電圧、電流の瞬時値を求めるためには複素数の実数成分を求めるので、

電圧の瞬時値は、

$$v(x,t)=Acos(ωt-βx)+Bcos(ωt+βx)$$

電流の瞬時値は、

$$i(x,t)={Acos(ωt-βx)+Bcos(ωt+βx)}/Z_0$$

となり、それぞれの第一項は+x方向に進む波、第二項は-x方向に進む波を表している。

今回は電圧の瞬時値の可視化を行うので、電圧の式を変形していく。

AとBの関係は反射係数Sで決まる。Z_Lを終端負荷とすると、

$$S=(反射波の大きさ)/(入力波の大きさ)$$

$$S=B/A=(Z_L-Z_0)/(Z_L+Z_0)$$

となり、終端負荷にAとBは依存する。

開放終端・・・Z_L＝０[Ω]
短絡終端・・・Z_L＝∞[Ω]
整合終端・・・Z_L＝Z_0[Ω]

上の式より、整合終端の場合は反射波が線路に理論上存在しないことになる。つまり、電力伝送効率100%である。しかし、実際は線路の損失があり、少なからずは電力効率が下がっている。

整合終端の式

電圧の反射係数は0となり、B=０となる。このとき、瞬時値は、

$$v(x,t)=Acos(ωt－βx)$$

開放終端の式

電圧の反射係数はS=1となり、B=Aとなる。このとき、瞬時値は、

$$v(x,t)=Acos(ωt-βx)+Acos(ωt+βx)$$

短絡終端の式

電圧の反射係数はS=-1となり、B=-Aとなる。このとき、瞬時値は、

$$v(x,t)=Acos(ωt-βx)-Acos(ωt＋βx)$$

プログラムの実装

実際に開放終端の場合の電圧の瞬時値を表すためのpythonコードが以下のようになります。

以下の条件でシミュレーションしました。

電源周波数：3GHz
電圧の伝わる速さ：光速
A=1、B=1

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import animation

#環境設定
c = 3e8     #光速 m/s
f = 3e9     #周波数 Hz
T = 1 / f   #周期 s
ramda = c / f   #波長 m
beta = 2 * np.pi / ramda    #位相定数
omega = 2 * np.pi / T       #角周波数

x_range = np.linspace(-4*np.pi/beta, 0.0, 200)
t_range = np.linspace(0.0, 2*np.pi/omega, 100)

#x, y 座標上で時間tを変化させる
fig = plt.figure()
artists = []

for t in t_range:
    v = np.cos(omega*t - beta*x_range) + np.cos(omega*t + beta*x_range)
    im = plt.plot(x_range,v, color = "blue")
    artists.append(im)

ani = animation.ArtistAnimation(fig, artists,50)

ani.save('animation_test.gif')